НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

УДК 517.3 Черенков Никита Юрьевич курсант 2 курса Ярославское Высшее Военное училище ПВО Россия, г. Ярославль e-mail: nikket81@mail.ru НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ Аннотация: Цель статьи — помочь студентам в освоении материала на начальном уровне изучения темы, повторение пройденного материала, предоставление дополнительных примеров для проработки и закрепления полученных знаний, привития абстрактного мышления и повышения навыков. Изложенный материал охватывает только вводную часть математического анализа — основы интегрирования. Ключевые слова: интегрирование, неопределенный интеграл, математический анализ, методическая поддержка, повторение материала. Cherenkov Nikita Yurievich 2nd year cadet Yaroslavl Higher Military Air Defense School Russia, Yaroslavl UNCERTAIN INTEGRALS AND THEIR APPLICATIONS IN SOLVING PROBLEMS Abstract: The purpose of the article is to help students in mastering the material at the initial level of studying the topic, repeating the material covered, providing additional examples for working out and consolidating the acquired knowledge, instilling abstract thinking and improving skills. The presented material covers only the introductory part of mathematical analysis - the basics of integration. Key words: integration, indefinite integral, mathematical analysis, methodological support, repetition of material. Основные понятия Операция нахождения неопределенного/определенного интеграла называется интегрированием. 1 Журнал «Трибуна ученого» Выпуск 09/2022 https://tribune-scientists.ru Результатом интегрирования функции f(x) на интервале (a, b) является функция F(x), которая называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b). Аналогично, функция F(x) называется первообразной для f(x) на интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на интервале (a, b) и F(x) = f(x). Теорема 1 Если F(x) — первообразная для функции f(x) на интервале (a, b), то F(x) + C также будет первообразной для функции f(x) на интервале (a, b). C в данном случае и далее будет считаться некоторой произвольной постоянной. Доказательство: (𝐹(𝑥)+𝐶)′=𝐹′(𝑥)=𝑓(𝑥) Теорема 2 Если F(x) и V(x) две первообразные для функции f(x) на интервале (a, b), то 𝐹(𝑥)=𝑉(𝑥)+𝐶 Доказательство: т.к. F'(x) = f(x), V'(x) = f(x), введем α(x) = F(x) - V(x) α'(x) = 0 для всякого x, принадлежащего интервалу (a, b), тогда из теоремы Лагранжа α (x) = C, т.е. F(x) - V(x) = C. Множеством всех первообразных функций F(x) + C для f(x) на интервале (a, b) называется неопределенным интегралом от функции f(x), т.е.   ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥  =𝐹(𝑥)+𝐶,   где ∫ — знак неопределенного интеграла   𝑓(𝑥)𝑑𝑥 — подинтегральное выражение Свойства неопределенного интеграла   1)𝑑(∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥  )=𝑓(𝑥)𝑑𝑥   2)∫𝑑𝐹(𝑥)   = 𝐹(𝑥)+𝐶        ⋅𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐴∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 3)∫𝐴            ±∫𝑣(𝑥)𝑑𝑥 =∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 4) ∫(𝑓(𝑥)±𝑣(𝑥))𝑑𝑥     2 Журнал «Трибуна ученого» Выпуск 09/2022 https://tribune-scientists.ru     5) Если ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥  =𝐹(𝑥)+𝐶, тогда ∫𝑓(𝛼)𝑑𝛼  =𝐹(𝛼)+𝐶, где α(x) — произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Методы интегрирования 1. Непосредственное интегрирование Примеры: sin(𝑥) 𝑑(cos(𝑥)) ∫𝑡𝑔(𝑥)       𝑑𝑥=∫  =−∫ 𝑑𝑥  = 1.   cos(𝑥) cos(𝑥) −ln|cos(𝑥)|+𝐶 𝑥2 𝑥2−𝑥+1 (𝑥−1)(𝑥+1)+1       𝑑𝑥 𝑑𝑥  =∫  =∫  = 𝑑𝑥 2. ∫ 𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1     (𝑥−1)2 1 +ln|𝑥−1|+𝐶 =∫(𝑥+1)𝑑𝑥 +∫ 𝑑𝑥 = 𝑥−1 2         1 1 sin(5𝑥)+𝐶 ∫cos(5𝑥)𝑑(5𝑥) ∫cos(5𝑥)𝑑𝑥  =  = 3. 5 5 Примеры для самостоятельной работы: 3 (1+√𝑥)   √𝑥3𝑑𝑥 1. ∫   5 13 7 2 9 3 6 18 3+ 𝑥 6+𝐶 3+ 𝑥 6+ 𝑥 𝑥 Ответ: 2 7 5 13   ∫(2𝑥√𝑥2+1)𝑑𝑥 2.   3 (𝑥2+1) 2 +С Ответ: 3 2 2. Интегрирование подстановкой (замена переменной)        =∫𝑓[𝜑(𝑡)]𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥  =∫𝑓[𝜑(𝑡)]𝑑[𝜑(𝑡)] ,   где 𝜑 — монотонная непрерывно дифференцируемая функция на (a, b) Пример:   ∫(√1−𝑥2)𝑑𝑥   Сделаем замену 𝑥=sin(𝑡), 𝑑𝑥=cos(𝑡)𝑑𝑡 Тогда: 3 Журнал «Трибуна ученого» Выпуск 09/2022 https://tribune-scientists.ru = 1 2 1 4 𝑡+𝐶 sin(2𝑡)−       1 1 ∫cos(𝑡)cos(𝑡)𝑑𝑡 ∫cos(2𝑡)𝑑𝑡 = − ∫𝑑𝑡 2 2       где 𝑥=arcsin(𝑡) Примеры для самостоятельной работы: (𝑥−3)𝑑𝑥   1. ∫   √3−2𝑥−𝑥2 𝑡 Ответ: −√4−𝑡2−4arcsin +𝐶, где 𝑡=𝑥+1 2   3𝑥−1 𝑑𝑥 2. ∫ 4𝑥2−4𝑥+17   3 1 𝑡 ln|𝑡2+16|+ +𝐶, где 𝑡=2𝑥−1 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 Ответ: 16 8 4 3. Интегрирование по частям Пусть функции u=u(x), v=v(x) имеют непрерывные производные на (a, b). Тогда 𝑑(𝑢𝑣)=𝑢𝑑𝑣+𝑣𝑑𝑢 Отсюда следует, что 𝑢𝑑𝑣=𝑑(𝑢𝑣)−𝑣𝑑𝑢     ∫𝑢𝑑𝑣 =𝑢𝑣−∫𝑣𝑑𝑢     Пример:   ∫(𝑥2+1)cos(𝑥)𝑑𝑥 =   Представим 𝑢=𝑥2+1, 𝑑𝑣=cos(𝑥)𝑑𝑥   Тогда 𝑑𝑢=2𝑥𝑑𝑥, 𝑣=sin(𝑥)=(𝑥2+1)sin(𝑥)−∫2𝑥  ⋅sin(𝑥)𝑑𝑥= (𝑥2+1)sin(𝑥)+2𝑥cos(𝑥)−2sin(𝑥)+𝐶 Примеры для самостоятельной работы: ∫𝑥𝑒−𝑥   𝑑𝑥 1. 𝑥2𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(𝑥) 1 1 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(𝑥) +𝐶 − 𝑥+ Ответ: 2 2 2   ∫𝑥2cos2(𝑥)𝑑𝑥 2.   1 1 1 1 1 𝑥2sin(2𝑥)+ 𝑥3+𝐶 𝑥cos(2𝑥)− sin(2𝑥))+ ( Ответ: 2 2 2 4 3 4 Журнал «Трибуна ученого» Выпуск 09/2022 https://tribune-scientists.ru