ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.95 Кодзоева Амина Асламбековна студентка физико-математический факультет Ингушский Государственный Университет Россия, г. Магас e-mail: aminat.kodzoeva18@yandex.ru Научный руководитель: Кодзоева Фира Джабраиловна физико-математический факультет Ингушский Государственный Университет Россия, г. Магас ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ Аннотация: В статье рассматривается постановка проблем Диофанта. Автором приводятся способы решения диофантовых уравнений. Ключевые слова: Диофант, уравнения, множество, рациональные числа. Kodzoeva Amina Aslambekovna student Physics and Mathematics Faculty Ingush State University Russia, Magas e-mail: aminat.kodzoeva18@yandex.ru Academic Supervisor: Kodzoeva Fira Dzhabrailovna Physics and Mathematics Faculty Ingush State University Russia, Magas DIOPHANTINE EQUATIONS Abstract: The article deals with the formulation of Diophantus' problems. The author provides methods for solving Diophantine equations. Key words: Diophantus, equations, set, rational numbers. Уравнение вида: 𝑎1𝑥1+𝑎2𝑥2+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑛=𝑐 1 Журнал «Трибуна ученого» Выпуск 02/2021 http://tribune-scientists.ru где коэффициенты 𝑎1𝑎2,…,𝑎𝑛, с- целые числа, а неизвестные 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 являются целыми или рациональными числами, называется линейным диофантовым уравнением. К решению подобных уравнений сводятся разнообразные текстовые задачи, в которых неизвестные величины выражают количество того или иного рода и поэтому являются натуральными) числами. Каждая конкретная задача в целых числах может решаться с помощью разных методов. Теорема: Неопределенное уравнение второго порядка от двух переменных либо не имеет ни одного рационального решения, либо имеет их бесконечно много, причем в последнем случае все решения выражаются как рациональные функции параметра x = ϕ(k), y =ψ (k), где ϕ и ψ — рациональные функции. Для того чтобы решить диофантово уравнение необходимо провести следующие этапы: 1. выяснить имеет ли уравнение целочисленные решения; 2. выяснить конечны множества его целочисленных решений или бесконечны; 3. решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения; 4. решить уравнение на множестве целых положительных чисел; 5. решить уравнение на множестве рациональных чисел. Перечислим известные способы решения диофантовых уравнений- 1) использование алгоритма Евклида; 2) использование цепных дробей; 3) способ перебора вариантов; 4) использование сравнений Рассмотрим уравнение второй степени с двумя неизвестными 𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑦+𝑐𝑦2+𝑓𝑥+ℎ𝑦+𝑑,где 𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑑∈𝑍 может: 1) не иметь решений в целых числах; 2 Журнал «Трибуна ученого» Выпуск 02/2021 http://tribune-scientists.ru 2) иметь конечное число решений в целых числах; 3) иметь бесконечное множество решений в целых числах. При этом в рациональных числах диофантовы уравнения второй степени либо не имеют решений, либо имеют их бесконечно много. На данный момент известны следующие способы решения неопределенных уравнений второго порядка, а именно − метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение; − метод разложения на множители; − метод, основанный на оценке выражений, входящих в уравнение; − метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных; − метод бесконечного (непрерывного) спуска; − метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби; − метод, основанный на выделении полного квадрата. Попробуем теперь выделить метод Диофанта «в чистом виде». Итак, пусть дано уравнение (1) 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2, которое представляет окружность с центром в начале координат. Одним из рациональных решений этого уравнения будет (0, –a). Диофант делает подстановку: 𝑥 = 𝑥, { (2) 𝑦 = 𝑘𝑥 – 𝑎. Подстановку (2) можно интерпретировать геометрически как проведение через точку (0, –a) прямой 𝑦 = 𝑘𝑥 – 𝑎. (3) Эта прямая встретит окружность (1) ещё в одной точке, координаты которой будут рациональными функциями от k. Действительно, Журнал «Трибуна ученого» Выпуск 02/2021 http://tribune-scientists.ru 3 и 𝑥2+(𝑘𝑥 – 𝑎)2=𝑎2 k 2 2 – 1 ak , y = kx – x = . k k a = a 2 + 1 2 + 1 Таким образом, каждому рациональному значению k отвечает одна и только одна рациональная точка кривой (1). Наоборот, как легко видеть, если мы соединим произвольную рациональную точку кривой (1) с точкой (0, –a), то получим прямую с рациональным угловым коэффициентом. Теперь рассмотрим неопределённые уравнения третьего порядка Выделим метод Диофанта в общем виде. Пусть задано число a. Обозначим одно из искомых чисел x, другое a – x. По условию, x(a – x) = y3 – y. (11) Одним из рациональных решений будет (0, –1). Следуя Диофанту, проведём через эту точку прямую y = kx – 1 (*) (Диофант берёт сначала k = 2) и найдём её точки пересечения с кривой (11): ax – x2 = k3x3 – 3k2x2 + 2kx. Для того чтобы x получилось рациональным, достаточно положить 2k = a, т.е. k = a/2, (**) что и делает Диофант. После этого найдём 3k2 – 1 3a2 – 4 x = . = 2· a3 k3 4 Журнал «Трибуна ученого» Выпуск 02/2021 http://tribune-scientists.ru Посмотрим, что означает условие (**) для прямой (*). Для того чтобы это выяснить, применим метод Диофанта к произвольному уравнению третьего порядка от двух переменных (10), которое имеет рациональное решение (a, b): f3(a, b) = 0. Проведём через точку P(a, b) прямую y – b = k(x – a) (12) или x = a + t, (13) y = b + kt. Тогда f3(a + t, b + kt) = f3(a, b) + tA(a, b) + ktB(a, b) + t2C(a, b, k) + t3D(a, b, k) = 0. Но f3(a, b) = 0 и, если положить A(a, b) + kB(a, b) = 0, (14) то получим ∂f3 ∂x A(a, b) k = – (P), = – B(a, b) ∂f3 ∂y т.е. угловой коэффициент нашей прямой (12) должен быть выбран так, чтобы она была касательной к кривой (10) в точке P(a, b). Таким образом, здесь Диофант пользуется методом касательной. Этим же способом Диофант решает задачу 18 книги VI, а также, вероятно, и задачу x3 + y3 = a3 – b3, рассмотренную, по свидетельству самого Диофанта, в его книге «Поризмы», которая до нас не дошла. Заметим, что попутно Диофант получает чисто алгебраический способ определения углового коэффициента k касательной, равного производной Журнал «Трибуна ученого» Выпуск 02/2021 http://tribune-scientists.ru 5  = – dy dx ∂f3 ∂x . ∂f3 ∂y Таким образом, решение уравнений в целых и рациональных числах — один из самых красивых разделов математики, теоретические и практические сведения которого используются как в инженерии, биологии, так и повседневной жизни. Список литературы: 1. Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: «Наука», 1972. 68 с. 2. Башмакова И.Г., Славутин Е.И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М.: «Наука», 1984. 256 с. 3. Гринько Е.П., Головач А.Г. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам. Брест: БрГУ имени А.С. Пушкина, 2013. 180 с. 4. Жмурова И.Ю., Бесперстова А.Ю. Использование историко- математических сведений в курсе теории чисел // Молодой ученый. 2013. № 10. 5. Жмурова И.Ю., Коршунова Л.А. Элективный курс «Эйлеровы графы» как средство реализации интеграционных связей математики // Молодой ученый. 2013. № 5. 6. Корянов А.Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания С6. Брянск, 2010. 142 с. 7. Шевкин А.В., Пукас Ю.О. ЕГЭ. Математика. Задание С6. М.: «Экзамен», 2014. 64 с. Журнал «Трибуна ученого» Выпуск 02/2021 http://tribune-scientists.ru 6